下面是小编为大家整理的爱因斯坦2015年计算水星近日点进动论文存四个错误,供大家参考。
爱因斯坦计算水星近日点进动 原始论文存在的四个错误 梅
晓
春
福州原创物理研究所，理论物理与纯粹数学部
内容摘要 爱因斯坦在 1915 年根据广义相对论引力场方程，提出一个公式来计算水星近日点进动。本文指出爱因斯坦的这篇原始论文中存在的四个错误。第一个错误是积分计算的错误，由华棣在2015年发现的。如果这个错误不存在，水星近日点的百年进动是百年 71.7”。第二个错误是被积分函数展开式系数计算的错误，如果这个错误不存在，水星近日点的百年进动是百年 14.3”。第三个错误是把水星椭圆轨道的近日点和远日点当成被积函数展开式函数的极点，其结果是广义相对论的修正项只能等于零。第四个错误是，爱因斯坦假设计算水星近日点进动的公式中的常数项与牛顿引力公式的常数项相等。根据广义相对论引力场方程的施瓦西解和黎曼几何短程线方程，该常数项必须等于零。因此广义相对论只能描述太阳系中行星的抛物线轨道运动（加上微小的修正），不能描述椭圆和双曲线轨道运动。因此在爱因斯坦并没有证明，广义相对论能够解释水星近日点百年 43”的进动。由于第四个错误是致命的，导致广义相对论的行星运动方程不成立，意味着爱因斯坦弯曲时空引力理论是不可能的。
关键词 广义相对论，牛顿引力理论，水星近日点进动，黎曼几何，短程线方程，抛物线方程 ——————————————————————————————————————————— 一
前言
爱因斯坦根据他对弯曲时空引力场方程的研究，在 1915 年的原始论文中给出一个公式计算水星近日点进动，得到百年 43”的结果，被认为是广义相对论最重要的理论成就之一。
然而早在 2005 年，国内学者季灏就发现，爱因斯坦关于水星近日点进动的计算有错【1】。2016年 2 月俄罗斯宇航学院院士华棣先生给本文作者寄来一篇文章，说他发现爱因斯坦关于水星近日点进动的原始论文的积分计算是错误的【2】。按照正确的计算，水星近日点百年的进动值应当是 7 . 71 ，而不是 34 ，误差高达 67%。
为此本人仔细检查了爱因斯坦的原始论文，发现华棣先生计算是对的，爱因斯坦确实把积分算错了。除此之外，本人还发现爱因斯坦的计算存在另外三个错误。
1. 为了能够进行计算，爱因斯坦对被积函数进行变换，然而这个变换式是错误的。按照正确的变换，水星近日点百年进动值就变成 3 . 14 。
2. 爱因斯坦水星椭圆的近日点和远日点作为被积函数的极点，然而这是不可能的。如果水星椭圆的近日点和远日点是被积函数的极点，描写的就是椭圆轨道，广义相对论运动方程的修正项就不 —————————————— 本文发表于 SCIREA Journal of Physics, April 14, 2022，Volume 7, Issue 2, April 2022， http://dio.org/10.54647/physics14418, https://www.scirea.org/journal/PaperInformation?PaperID=7180
存在。这是一个数学的基本错误，不是物理学的近似问题。爱因斯坦之后的许多物理学家在计算水星近日点进动时，都犯了相同的错误。
3. 根据施瓦西解和黎曼几何短程线方程，可以证明爱因斯坦计算水星近日点进动的公式中的常数项必须等于零。因此广义相对论只能描述太阳系中天体的抛物线运动（加上微小的修正），不能描述天体的椭圆和双曲线轨道运动【3】。
在作者本人指出的三个错误中，最后一个是致命的。它不但说明爱因斯坦没有根据广义相对论证明水星近日点进动是百年 43”，而且说明广义相对论的行星轨道方程是错误的。由于描述太阳系行星的椭圆轨道运动是对一个合格的引力理论最起码的要求，广义相对论运动方程不能描述行星椭圆轨道运动，就意味着爱因斯坦弯曲时空引力理论是不成立的。
二
积分计算的错误
本节的论述引自华棣先生未正式发表的网络论文【2】。爱因斯坦 1915 年用广义相对论引力场方程计算水星近日点进动时，球对称引力场方程的施瓦西解还没有被发现。因此爱因斯坦的计算不是基于施瓦西解，而是通过计算球称引力场中粒子沿测地线的运动形式，得到以下行星运动方程【4】：
3 22 222x x xB BAddx
（1）
式中 r x / 1 ，2/ 2 c GM ， M 是太阳质量， A 和 B 是积分常数，由能量守恒和角动量守恒确定。
设 是水星从远日点运动到近日点时增加的角度，将（1）式积分，得：
213 2 2 2) / ( / 2 x x x B B Adx
（2）
其中1 1/ 1 r ，2 2/ 1 r ，1r 是轨道的远日点，2r 是近日点。爱因斯坦令1 和2 是以下方程的两个根：
02) (3 22 2 x x xB BAx f
（3）
并将（2）式写为：
21) 1 )( )( (] ( 1 [2 12 1 x x xdx
（4）
由于 1 x ，就有 ) 2 / 1 ) 1 (2 1x x （ ，代入（4）式，得到：
21) )( () 2 / 1 () ( 12 12 1 x xdx x
（5）
爱因斯坦对（5）式的计算结果是：
) (4312 1
（6）
取 m r10110 9818 . 6 ， m / 10 4323 . 1111 ， m r10210 6004 . 4 ， m / 10 1737 . 2112 。太阳质量 Kg M3010 9892 . 1 ，引力常数2 2 11/ 10 6732 . 6 Kg m N G ，光速 s m c / 10 9979 . 28 。按照（6）式计算，水星每绕太阳一圈（一个水星年，等于地球时间 88 天）的进动角是：
radr r cGM72 122 110 0197 . 51 1 3) (23) ( 2
（7）
每一百个地球年水星近日点的进动角是：
3 4 10 0846 . 2 28 . 415 10 0350 . 54 7 rad
（8）
这个结果被认为与实际观察一致，爱因斯坦广义相对论由此得到物理学界的认可，一百年以来物理学家对这个结果深信不疑。
然而华棣指出，爱因斯坦的计算是错的，（4）式的正确计算结果应当是【2】：
) (451 ) (41) (4512 122 122 1
（9）
按照（9）式计算，每百年水星近日点的进动角百年是 7 . 71 ， 而不是 43”。事实上，按照积分公式：
22 1 2 12 1) () )( (x xdxx xdx ) )( () ( 2sin arc2 12 1x xx
（10）
) )( () )( (2 12 1 x xx xxdx ) )( () ( 2arcsin2) (2 12 1 2 1 x xx
（11）
因此从（5）式就得到：
21) )( () 2 / 1 (2 1 x xdx x 1 22 11 21 22 1arcsin arcsin ) (41 ) (41 ) 1 arcsin( 1 arcsin ) (412 1 2 1
（12）
（6）式变成：
) (451 ) (41 ) ( 12 1 2 1 2 1
（13）
（13）式与（6）式是不一样的，爱因斯坦的计算显然是错误的。（7）式变成：
rad72 110 3662 . 8 ) (25) ( 2
（14）
每一百地球年的水星近日点进动量为：
7 . 71 10 4743 . 3 28 . 415 10 3662 . 84 7 rad
（15）
是爱因斯坦计算值 43 秒的 1.67 倍。
三
被积函数展开式的错误
爱因斯坦计算的第二个错误是，被积函数展开（4）式是不成立的。考虑到 1 10 ~ ) (82 1 ，我们将（4）式的被积函数写成：
) 1 )( )( )]( ( 2 1 [1) 1 )( )( () ( 12 1 2 1 2 12 1x x x x x x
（15）
与（2）式比较，就有：
3 22 22 1 2 12) 1 )( )( )]( ( 2 1 [ x x xB BAx x x
（16）
将（16）式左边展开，得：
3 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1) ( 1 ) ( )] ( 2 1 [ x x x
（17）
与（16）式右边比较，就有：
2 1 2 12)] ( 2 1 [2 BA
（18）
) )]( ( 2 1 [2 1 2 1 2 12 B
（19）
] ) ( ) ( 1 [ )] ( 1 )][ ( 2 1 [ 122 122 1 2 1 2 1
（20）
)] ( 2 1 [2 1
或
1 ) ( 2 12 1
（21）
要使（20）和（21 两边相等，就必须略去 ) (2 1 和22 12) ( 的项。考虑到310 ~ ，112 110 ~ ~ ， 1 10 ~ ) (82 1 ， 1 10 ~192 1 ，因此略去 ) (2 1 和22 12) ( 的项是可以接受的，就得到：
2 122 BA
2 12 B
（22）
问题是，如果略去 ) (2 1 项，（4）式就变成：
21) 1 )( )( (2 1 x x xdx
（23）
因此（4）式积分号前的因子是不存在的。如果不考虑这个因子，直接令：
) 1 )( )( (22 13 22 2x x x x x xB BA
3 22 1 2 1 2 1 2 1)] ( 1 [ ) ( x x x
（24）
比较两边的系数，略去 ) (2 1 和2 1 的高阶项，既：
2 122 BA
2 1 2 1 2 12) ( B
1 ) ( 1 12 1
)] ( 2 1 [2 1
（25）
我们同样可以得到（22）式，因此爱因斯坦给出的展开式是有问题的。（4）式积分号前的因子应当等于 1，积分结果是：
) (41) 1 )( )( (2 12 121 x x xdx
（26）
水星绕日运动一周的进动角就变成：
radr r cGM72 122 110 6732 . 11 1) (21) ( 2
（27）
百年进动角为：
3 . 14 10 9487 . 6 28 . 415 10 6732 . 15 7 rad
（28）
只是爱因斯坦计算结果的三分之一。
国内有位物理学者曾给作者发来一封电子邮件，内附俄罗斯学者 Anatoli Andrei Vankov 1947 年写的一篇未正式发表的文章。该文指出爱因斯坦计算水星近日点进动的原始文献存在的 17 个错误，其中第 16 个就是认为积分号前的系数不对。他认为需要将（4）式积分号前的因子 ) ( 12 1 改为 2 / ) ( 12 1 ，才能得到百年进动 34 的结果【5】。
然而为什么要做这样的改变，Anatoli Andrei Vankov 的文章中没有做说明。事实上，按照 Vankov的方法，我们也可以在（25）式前乘上 ) ( 12 1 Q ，并且 Q 可以取任意值。比如取 100 Q ，水星近日点百年进动值就变成 " 4300 ，可见这样做是没有意义的。
四
被积函数极点的错误
爱因斯坦把被积函数按照水星的椭圆轨道的近日点和远日点做展开，也是错误的。行星运动轨道极点用 0 / d dx 表示，考虑（16）式后，（3）式变成：
0 ) 1 )( )( )]( ( 2 1 [2 1 2 1 x x x
（29）
因此（28）式有三个根1 1 x ，2 2 x 和 / 13 x 。问题是爱因斯坦并没有通过解一元三次方程（3）式，计算出这三个根的具体数值。事实上由于常数 A 和 B 是未知的，爱因斯坦实际上无法得到（3）式的根。然而爱因斯坦却假定其中的一个根具有已知的确定值 / 13 x ，这是根本不可能的。
同时爱因斯坦在最后的计算中把1 和2 看成水星椭圆轨道的近日点和远日点，但这也是不可能的。因为如果把水星椭圆轨道的近日点和远日点看成被积函数（3）式的根，描写的就是牛顿引力的椭圆轨道，广义相对论运动方程的修正项3x 就不可能存在。
事实上，对于一元二次方程，如果它的两个根是1 和2 ，就有：
0 ) )( (2 12 x x c bx x
（30）
根与方程系数的关系是 b 2 1 和 c 2 1 。忽略广义相对论的修正项，将（3）式写成：
022 22 BAxBx
（31）
如果1 和2 也是（31）式的根，就必须有：
22 1B
22 12BA
（32）
（32）式与（22）式是一致的，因此（3）式中的修正3x 必须不存在，否则1 和2 不可能是根。
爱因斯坦在这里犯的是一个初级的数学错误，它不是物理学的近似问题，由此导致公式（4）不成立。爱因斯坦之后的许多物理学家，在计算水星近日点进动时，都犯了相同的错误【6】。
五
行星运动方程中积分常数的错误
爱因斯坦提出弯曲时空引力理论已经 100 多年，然而在广义相对论的最重要的行星与光的运动方程中，常数项至今没有做过严格的计算【7，8，9】。爱因斯坦本人是直接地假设方程（1）中的常数项不等于零，并在此基础上计算水星近日点进动。
本文作者证明，严格按照广义相对论引力场方程和黎曼几何的短程线方程，爱因斯坦计算公式（1）式右边的常数项应当等于零。因此广义相对论只能描述天体的抛物线轨道运动，无法描述椭圆和双曲线轨道运动，因此无法用来计算水星的近日点进动【3】。对于广义相对论而言，这是一个最致命的错误，它导致爱因斯坦弯曲时空引力理论不成立。
在球对称引力场中通过求解爱因斯坦引力场方程，得到四维时空中用弧元表示的施瓦西度规：
) sin ( ) ( ) (2 2 2 2 2 2 2 2 d d r dr r B dt r A c ds
（33）
其中：
r r A / 1 ) (
1/ 1 ) ( r r B
（34）
爱因斯坦假定物体在引力场中沿短程线运动，短程线方程用黎曼几何计算。因此广义相对论推导太阳系中行星的轨道方程时需要两组独立的方程，即爱因斯坦引力场方程和黎曼几何短程线方程。
按照黎曼几何的标准方法，从（33）式的施瓦西度规，可以得到四个短程线分量方程。取 2 / ，其中一个方程等号两边同时等于零，剩下的三个独立方程是【7】【8】：
02 2202 222 dsdxBAdsdBrdsdrBBdsr d
（35）
0222 dsddsdrr dsd
（36）
0020 2dsdxdsdrAAdsx d
或
00dsdxAdsd
（37）
其中 ct x 0， dr r dB B / ) ( ， dr r dA A / ) ( ...