2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）全解全析 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D． 1.B【解析】(直接法),, 故.(排除法)由可知中的元素比0要大, 而C、D项中有元素0，故排除C、D项，且中含有元素比1，故排除A项.故答案为B. （2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）
Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14 2.C【解析】先画出约束条件的可行域:如右图:得到当时目标函数有最大值为, ． （3）
“”是“直线平行于直线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.C【解析】当则直线平行于直线,则是充分条件; 直线平行于直线时有: ,则是必要条件,故是充分必要条件. （4）(2007年天津文)设，，，则（ ）
A． B． C． D． 解析：∵由指、对函数的性质可知：, , ∴有. （5）(2007年天津文)函数的反函数是（ ）
A． B． C． D． 解析：由得,即,故反函数是,再根据原函数的值域为反函数的定义域则有: ∵,则, ∴,故反函数的定义域为,则有. （6）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若与所成的角相等，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6.D【解析】Ａ项中若与所成的角相等，则可以平行、相交、异面故错；
Ｂ项中若，，则可以平行、异面故错；
Ｃ项中若则可以平行、相交；
而D项是对，因为此时所成的角与所成的角是相等或是互补的，则． （7）设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 7.D【解析】∵抛物线的准线为,故有------① 又∵双曲线的离心率为,故有:-------②, ①②得到,进而求出, ∴双曲线的方程为 （8）设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 8.B【解析】由等差数列且，得 ，又∵是与的等比中项，则有 即：得，解之得（舍去）． （9）设函数，则（ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数 9.A【解析】由函数图象的变换可知:的图象是将的图象轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为,则函数在区间即上为增函数,当时有: ,故在区间上是增函数. （10）(2007年天津文)设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 10.A【解析】（排除法）当则得, 即在时恒成立, 而最大值,是当时出现,故的最大值为0, 则恒成立,排除B,C项,同理再验证时, 不成立,故排除D项. 第Ⅱ卷 注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． （11）从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
分组 频数 1 2 3 10 1 则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％． 11.70【解析】由表中可知这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数为: 故约占苹果总数的. （12）的二项展开式中常数项是 （用数字作答）． 12.84【解析】根据二项式展开式通项公式到展开式中常数项是：
,令得,故有: （13）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，，，则此球的表面积为 ． 13.【解析】长方体的各顶点均在同一球的球面上则长方体的体对角线长为球的直径， 设球的直径为则：，由于球的表面积为:. （14）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是 ． 14.【解析】--------① -------② 由①-②得到:. （15）在中，，，是边的中点，则 ． 15.【解析】根据向量的加减法法则有: ,此时 . （16）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）． 16.630【解析】分为三类:第一类是只用两种颜色则为: 种,第二类是用三种颜色则为:种, 第三类是用四种颜色则为:种,故共计为630种. 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
在中，已知，，． （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值． （18）（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面， ，，是的中点． （Ⅰ）求和平面所成的角的大小；
（Ⅱ）证明平面；
（Ⅲ）求二面角的大小． （20）（本小题满分12分）
在数列中，，，． （Ⅰ）证明数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立． （21）（本小题满分14分）
设函数（），其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；
（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立． （22）（本小题满分14分）
设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为． （Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则． 2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． （1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）D （8）B （9）A （10）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． （11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
三、解答题 （17）本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解：在中，，由正弦定理， ． 所以． （Ⅱ）解：因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是 ， ， ． ． （18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件．由于事件相互独立，且 ，， 故取出的4个球均为红球的概率是 ． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；
从乙盒内取出的2个红球为黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；
从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件．由于事件互斥，且 ，． 故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为 ． （19）本小题考查直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．考查空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，平面，故． 又，，从而平面．故在平面内的射影为，从而为和平面所成的角． 在中，，故． 所以和平面所成的角的大小为． （Ⅱ）证明：在四棱锥中， 因底面，平面，故． 由条件，，面． 又面，． 由，，可得． 是的中点，， ．综上得平面． （Ⅲ）解：过点作，垂足为，连结．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则． 因此是二面角的平面角． 由已知，可得．设，可得 ，，，． 在中，，，则 ． 在中，． 所以二面角的大小． （20）本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设，得 ，． 又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为 ． 所以数列的前项和． （Ⅲ）证明：对任意的， ． 所以不等式，对任意皆成立． （21）本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．满分14分． （Ⅰ）解：当时，，得，且 ，． 所以，曲线在点处的切线方程是，整理得 ． （Ⅱ）解：
． 令，解得或． 由于，以下分两种情况讨论． （1）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且 ；
函数在处取得极大值，且 ． （2）若，当变化时，的正负如下表：
因此，函数在处取得极小值，且 ；
函数在处取得极大值，且 ． （Ⅲ）证明：由，得，当时， ，． 由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使， 只要 即
① 设，则函数在上的最大值为． 要使①式恒成立，必须，即或． 所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立． （22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分． （Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中 ，由于点在椭圆上，有， ， 解得，从而得到， 直线的方程为，整理得 ． 由题设，原点到直线的距离为，即， 将代入原式并化简得，即． 证法二：同证法一，得到点的坐标为， 过点作，垂足为，易知，故 由椭圆定义得，又，所以 ， 解得，而，得，即． （Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为． 当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组 的解．当时，由①式得 代入②式，得，即 ， 于是， ． 若，则 ． 所以，．由，得．在区间内此方程的解为． 当时，必有，同理求得在区间内的解为． 另一方面，当时，可推出，从而． 综上所述，使得所述命题成立．
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