下面是小编为大家整理的6.3两条直线位置关系,供大家参考。
· 授课题目 6.3 两条直线的位置关系 选用教材 高等教育出版社《数学》 （基础模块下册）
授课时长 5 课时 授课类型 新授课 教学提示 本课首先介绍两条直线平行、重合及相交的位置关系及判定的方法，研究两条直线相交的位置关系及两条直线垂直的条件，最后介绍点到直线的距离的计算公式，学习利用斜率判定两条直线的位置关系以及求两条直线的交点坐标，用待定系数法求与已知直线平行(或垂直)的直线方程，求点到直线的距离，并帮助学生体会斜率在研究直线中的重要作用. 教学目标 通过学习，会求两条直线交点的坐标，逐步提升直观想象和数学运算等核心素养；通过学习两条直线平行以及垂直的条件和判定方法，能根据条件判定两条直线的位置关系，逐步提升直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养；学习点到直线的距离公式，能求点到直线的距离，逐步提升运算过程等核心素养.
教学重点 两条直线的位置关系，两条直线交点坐标，点到直线的距离. 教学难点 两条直线位置关系的判断与应用，点到直线距离的计算. 教学环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 情境导入 6.3.1. 两条直线平行 (1)2020 年 11 月 24 日,我国在文昌航天发射基地，用长征 5 号遥五运载火箭成功发射了探月工程嫦娥五号探测器.大型运载火箭发射航天器离不开助推器的推送,我国长征 5号火箭,外围有四个火箭助推器.如果把长征 5号火箭的四个助推器看作直线,它们的位置关系如何呢？ 通过观察可以看出,四个助推器是相互平行的. (2)现实生活中有许多物体具有平行的位置关系.观察图示的图形,哪些物体是平行的?怎样用数学语言表述平行的位置关系呢？
提出 问题
引发 思考 思考
分析
回答 结合 生活常识思考，展示数学美，同时树立爱国主义情怀
探索新知 若直线 l 1 与直线 l 2 平行且都平行于 x 轴,则直线 l 1 与直线 l 2 的倾斜角都为 0,此时斜率为 0. 反之,若直线 l 1 与直线 l 2 的斜率都为 0,则倾斜角也都为 0, 直线 l 1 与直线 l 2 平行且都平行于 x 轴. 若直线 l 1 与直线 l 2 平行且都垂直于 x 轴,则直线 l 1 与直线 l 2 的斜率都不存在. 反之,若直线 l 1 与直线 l 2 的斜率都不存在,则直线 l 1 与直线 l 2 都垂直于 x 轴且平行.
若直线 l 1 :y=k 1 x+b 1 与直线 l 2 :y=k 2 x+b 2 平行,则直线 l 1 与直线 l 2 的倾斜角相等,即 α 1 =α 2 ,此时直线 l 1 与直线 l 2 的斜率相等即, k 1 =k 2 . 反之，若直线 l 1 :y=k 1 x+b 1 与直线 l 2 :y=k 2 x+b 2 的斜率相等,即 k 1 =k 2 ,则直线 l 1 与直线 l 2 的倾斜角相等,此时直线 l 1 与直线 l 2 平行. 若直线 l 1 :y=k 1 x+b 1 与直线 l 2 :y=k 2 x+b 2 的斜率相等,即k 1 =k 2 ,且 b 1 =b 2 ,则这两条直线重合. 综上可知,利用直线的斜率可以判断两条直线是否平行. 温馨提示 在平面直角坐标系中,当两条直线的斜率 k 1 与 k 2 都存在,并有 k 1 =k 2 且 b 1 ≠b 2 时,两条直线平行;当两条直线的斜率都不存在时,两条直线也平行. 讲解
说明
展示
引领
强调 理解
思考
领会
分析
领会 分不同情况进行说明，归纳概念突出强调规范表述和注意事项
适时总结 例题辨析 例 例 1 判断下列各组直线是否平行或重合. (1)1 2: , : 2 0 l y x l x y ; (2)1 21 1: 2 1 0, :2 2l x y l y x ; (3)1 2: 2, : 5 l x l x . 解 解
(1)由 y=x,得直线的斜率 k 1 =1,在 y 轴上截距 b 1 =0;由 x-y+2=0,即y=x+2,得直线的斜率k 2 =1,在y轴上的截距b 2 =2. 因为 k 1 =k 2 且 b 1 ≠b 2 ,所以两条直线平行. (2)由 2 1 0 x y ,即1 12 2y x ,得直线的斜率112k ,在 y 轴上截距212b . 因为 k 1 =k 2 且 b 1 =b 2 ,所以两条直线重合. (3)因为直线 x=2 与直线 x=5 都垂直于 x 轴,两条直线的斜率都不存在,所以两直线平行. 例 例 2 求经过点 A(1,1)且与直线 y=2x-3 平行的直线方程. 解 解 因为直线 y=2x-3 的斜率为 2,所以所求直线的斜率 k=2.提问
引导
讲解
强调
思考
分析
解决
交流
两条直线平行知识的直接应用
设所求直线方程为 y=2x+b, 因为直线过点 A(1,1),所以有 1=2+b,解得 b=-1,故所求直线方程为 y=2x-1,即 2x-y-1=0. 提问 引导
讲解
强调
思考 分析
解决
交流
强调斜率是解决问题的关键 巩固练习 习 练习 6.3.1 1.判断下列各组直线是否平行或重合：
(1) l 1 :y=-2x+3, l 2 :4x+2y+5=0； (2) l 1 : y=3x+1, l 2 :3x-y+1=0;
(3) l 1 : y=3x-4y +4, l 2 :3= 14y x ； (4)l 1 :x=3,
l 2 :x=7. 2.填空题：
(1)若直线 l 与直线 x+2y+1=0 平行,则直线 l 的斜率为___________; (2)已知直线 l 在 y 轴上的截距为 2,且与直线 y=x 平行,则直线 l 的方程为_____________. (3)若直线 l 经过点(2,0)且与直线 y=3x+2 平行,则直线l 的方程为___________. 3.求过点(1,2)且平行于直线 x=-5 的直线方程. 提问
巡视
指导 思考
动手 求解
交流 及时掌握学生掌握情况查漏补缺 情境导入 6.3.2. 两条直线相交 (1)交通标志是用文字或符号传递引导、限制、警告或指示信息的道路设施.一般以安全、醒目、清晰、明亮的交通标志实施交通管理,保证道路交通安全、顺畅.如图的交通标志表示禁止车辆临时或长时停放,图中的两条线段有什么位置关系？ (2) 中国红十字会成立于 1904 年,会标如图所示,图中的红十字是否可以看成是两条垂直的线段？
提出问题
思考 讨论
联系实际创设情境，借助常用标志物引发学生关注社会生活的意识 探索新知 同一平面内,两条直线既不平行,也不重合,这两条直线就是相交的.若两直线相交,且斜率都存在,它们的斜率有什么关系？ 在同一平面内,若两条直线 l 1 和 l 2 相交,且斜率 k 1 与 k 2都存在,则 k 1 ≠k 2 ;反之,若两条直线 l 1 和 l 2 的斜率 k 1 与 k 2 都且 k 1 ≠k 2 ,则这两条直线 l 1 与直线 l 2 相交. 若直线 l 1 的斜率不存在,而直线 l 2 的斜率存在,则直线讲解
说明
展示
讲解 理解
思考
领会
理解 通过与原有知识对比引发学生思
l 1 与直线 l 2 相交. 考 例题辨析 例 例 3 判断下列各组直线是否相交. (1) l 1 :2x+y-1=0, l 2 :2x-y=0 (2) l 1 : x=2, l 2 : y=x+2 解 解 (1)由 2x+y-1=0,有 y=-2x+1,得直线 l 1 的斜率 k 1 =-2;由2x-y=0,即 y=2x,得直线 l 2 的斜率 k 2 =2. 因为 k 1 ≠k 2 ,所以两条直线相交. (2)由 x=2 知直线 l 1 的斜率不存在;由 y=x+2,得直线 l 2的斜率为 k 2 =1. 所以两条直线相交.
示 温馨提示 直线 l 1 与直线 l 2 相交,如图所示,交点 P 0 的坐标(x 0 ,y 0 )同时满足两条直线的方程.因此,两条直线的交点的坐标就是两条直线的方程组成的方程组的解.
例 例 4 判断直线 l 1 :x+3y-6=0 与直线 l 2 :y=x-2 是否相交.若相交,求出交点 P 0 的坐标. 解 解 由 x+3y-6=0,有 2,3xy 得直线 l 1 的斜率113k ;由y=x-2 得直线 l 2 的斜率 k 2 =1. 因为 k 1 ≠k 2 ,所以两条直线相交. 由两条直线的方程组成的方程组为 3 6 0,2.
x yy x 得31xy ，，所以两条直线的交点为 P 0 的坐标为(3,1). 提问 引导
讲解 强调
展示图像
提问 引导
提问 引导
讲解 强调
思考 分析
解决 交流
观察 思考
分析 交流
思考 分析
解决 交流
通过求两条直线的斜率判断两条直线是否相交
拓展学习
两条直线交点位置的确定体现坐标法的思想 探索新知 在同一平面内,两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况.
(1)
(2) 直线 l 1 与直线 l 2 垂直,如图(1)所示.因为直线 l 1 平行于x 轴,所以直线 l 1 的斜率为 0；因为直线 l 2 垂直于 x 轴,所以直线 l 2 的斜率不存在. 直线 l 1 与直线 l 2 垂直且斜率 k 1 , k 2 都存在,如图(2)所示. 引领
展示
分析
领会
观察
思考
数形结合，逐步提升直观想象核心素养
分析特殊情况，
设直线 l 1 与 l 2 的倾斜角分别为 α 1 和 α 2 .记 α 2 的补角∠OCA 为 α 3 . 因为 l 1 ⊥l 2 ,所以△ABC 为直角三角形,且 1 1=tan =ACkAB , 2 3 2 2=tan =tan( )= tan =ABkAC , 故 1 2| | | |= = 1| | | |AC ABk kAB AC . 即,若两条直线 l 1 与 l 2 垂直且斜率 k 1 与 k 2 都存在,则k 1 k 2= -1. 反之若两条直线 l 1 与 l 2 的斜率 k 1 与 k 2 都存在且 k 1 k 2= -1,则直线 l 1 与 l 2 垂直.
指导
分析
引领
演算
交流
领会
强调思维的完备性；推导过程提升数学运算核心素养
例题辨析 例 例 5 判断直线 l 1 :2x+y-1=0 与直线 l 2 :x - 2y=0 是否垂直? 解 解 由 2x+y-1=0,得直线 l 1 的斜率12 k ； 由 x - 2y=0,得直线 l 2 的斜率212k . 因为 k 1 k 2 =-1,所以直线 l 1 :2x+y-1=0 与直线 l 2 : x - 2y=0 垂直. 例 例 6 已知直线 l 1 经过点 M(1,-2)且与直线 l 2 :y=2x-1 垂直，求直线 l 1 的方程. 解 解 由 l 2 :y=2x-1,得直线 l 2 的斜率 k 2 =2;设直线 l 1 的斜率为k 1 ,因为 l 1 ⊥ l 2 ,所以 k 1 k 2 =-1,故有112k . 又因为直线 l 1 经过点 M(1,-2),所以由点斜式方程,得 12 ( 1)2y x ， 即直线 l 1 的方程为 x+2y+3=0. 提问 引导
讲解 强调
提问 引导
讲解 强调 思考 分析
解决 交流
思考 分析
解决 交流 加深和巩固基础知识 巩固练习 习 练习 6.3.2 1.判断下列各组直线是否相交.若相交,则求出交点坐标. (1) l 1 :x+4=0,
l 2 :2x+3y-11=0； (2) l 1 : 2x+3y+7=0, l 2 : 2x+y-3=0;
(3) l 1 : x+y-3=0,
l 2 : 3x+3y+5=0. 2.判断下列各组直线是否垂直? (1) l 1 :x+2y-1=0,
l 2 :x-2y+1=0； (2) l 1 :4x+3y-2=0,
l 2 :3x-4y+5=0； (3) l 1 :192y x ,
l 2 : =2 1 y x ; (4) l 1 :2x+3=0,
l 2 :5x-1=0. 3. 求经过点(0,2),且与直线 y=x+2 垂直的直线的方程. 4.设△ABC 的三个顶点分别为 A(4,0)、B(6,7)、C(0,3),求△ABC 中 BC 边上的高所在的直线的方程. 提问
巡视
指导 思考
动手 求解
交流 及时掌握学生掌握情况查漏补缺 情境导入 6.3.3 点到直线的距离 高速铁路简称高铁,是指基础设施设计速度标准高、可 展示 思考
创设
供火车在轨道上安全高速行驶的铁路,列车运营速度在250km/h 以上.高铁的某一段铁轨可以看作是两条相互平行的直线,铁轨间的距离是高速列车的设计时的重要参数.而铁轨间的距离实际上就是两条平行线之间的距离,如何计算这个重要的参数呢？ 问题
引领思考 问题
分析 交流 情境同时激发爱国情怀 探索新知 我们知道,在平面直角坐标系中,点与直线有两种位置关系：
(1)点在直线上,点的坐标满足直线方程； (2)点在直线外,点的坐标不满足直线方程. 当点 M 在直线 l 外时,如图所示,称点 M 到直线 l 的垂线段 MN 的长度为点 点 M 到直线 l 的距离.
如果点在直线上,则点到直线的距离为 0;如果点在直线外,如何求直线 l:Ax+By+C=0 外一点 M(x 0 ,y 0 )到直线 l 的距离呢? 若点 M 的坐标为(3,-2),直线 l 的方程为 x-2y+3=0,如图所示,我们来求点 M 到直线 l: x-2y+3=0 的距离.
(1)过点 M 作直线 l 的垂线,求垂线方程. 由直线 l 的方程 x-2y+3=0 得直线的斜率 k 1 = 12 .若垂线的斜率为 k 2 ,则有 k 1 k 2= -1,所以 k 2= -2.由直线的点斜式方程得垂线方程 2 2( 3) y x ,即 2 4 0 x y . (1)求两条直线的交点 N 的坐标. 两条直线的方程组成的方程组为 2 3 0,2 4 0.x yx y 解得12xy ，，所以两条直线的交点 N 的坐标为(1,2). (3)求点到直线 l 的距离. 由两点间距离公式得 2 2(1 3) (2 2) 2 5 MN , 即点 M 到直线 l 的距离为 2 5 . 引领
展示
提问
展示过程
思考
观察
思考
分析 交流
采用解决具体的问题后直接给出公式，突出公式的应用
用同样的方法可以求得点 M(x 0 ,y 0 )到直线 Ax+By+C=0的距离为 0 02 2Ax By CdA B 公式称为 点到直线的距离公式. 示 温馨提示
用公式求点到直线的距离时,直线的方程必须是一般式方程.
提示
注意
补充说明 例题辨析 例 例 7 求点 (2,3) M 到直线 y=413x 的距离 d. 解 解 直线 y=413x 的一般式方程为 4x-3y-3=0,由点到直线的距离公式,得 2 24 2 ( 3) 3 34 .54 ( 3)d 例 例 8 求两条平行直线 x+y-1=0 与 x+y+2=0 之间的距离. 分析 先在其中一条直线上取一个坐标数值比较简单的点,然后利用点到直线的距离公式,求出这个点到另一条直线的距离,即为两条平行直线间的距离. 解 解 在直线 x+y-1=0 上取点 M(0,1). 因为点 M(0,1)到直线x+y+2=0 的距离为 2 21 0 1 1 2 3 3 2= = =2 21 1d , 所以两条平行直线 x+y-1=0 与 x+y+2=0 之间的距离为3 22. 提问 引导
讲解 强调
提问 引导
讲解 强调 思考 分析
解决 交流
思考 分析
解决 交流 直接应用公式解决问题
解决过程体现化归思想 巩固练习 习 练习 6.3.3 1.求坐标原点到下列各直线的距离：
(1) 3x-2y+1=0； (2)13y x ; (3) y-5=0. 2.若点 M(2,m)到直线 3x-4y+2=0 的距离为 4,求实数 m的值. 3.求两条平行直线 2x+3y-4=0 与 2x+3y+18=0 之间的距离. 提问
巡视
指导 思考
动手 求解
交流 及时掌握学生掌握情况查漏补缺 归纳总结
引导
提问
回忆
反思
培养 学生 总结 学习 过程 能力 布置 1.书面作业：完成课后习题和学习与训练； 说明 记录 继续
作业 2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 探究 延伸学习