2020年高考数学江苏卷必刷试卷一（带解析版）

时间：2022-03-01 14:12:21 浏览次数：

江苏卷01-2020年高考数学必刷试卷（解析版）
数学试题I 一、填空题（共70分）
1、已知集合A＝｛x｜x2－2x≤0｝，B＝｛0，2，4｝，C＝A∩B，则集合C的子集共有＿＿个. 答案：4 解析：A＝｛x｜0≤x≤2｝，所以，C＝A∩B＝｛0，2｝，集合C的子集有：，｛0｝，｛2｝，｛2，4｝，共4个。

2、已知复数z满足为虚数单位），则z的共轭复数＝＿＿. 答案：
解析：由，得，即，所以，＝ 3、已知双曲线的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则m＝＿＿. 答案：9 解析：的渐近线方程为：，又双曲线的一条渐近线方程为x＋3y＝0，即，所以，，m＝9 4、随机抽取100名年龄在［10,20），［20,30），…，［50,60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在［50,60）年龄段抽取的人数为＿＿. 答案：2 解析：不小于40岁的人数为：（0.015+0.005）×10×100＝20，不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，比例为：，［50,60）年龄段抽取的人数为：0.005×10×100×＝2. 5、为强化环保意识，环保局每周从当地的5所化工厂（甲，乙，丙，丁，戊）中随机抽取3所进行污水合格检测，则在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽测的概率是＿＿. 答案：
解析：5所化工厂中随机抽取3所，所有可能为：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，共10种，甲，乙化工厂都被抽测的有：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，共3种，所以，所求的概率为：
6、如图，若输入的x值为，则相应输出的值y为＿＿. 答案：
解析：x＝时，sin，cos，所以，sin＞cos成立，执行“Y”，即输出y＝cos。

7、已知一个圆锥的底面半径为cm，侧面积为6cm2，则该圆锥的体积是＿＿cm3. 答案：
解析：圆锥的母线长为l，则圆锥的侧面积为：，解得：，圆锥的高h＝，所以，圆锥的体积为：V＝ 8、已知实数x，y满足，则的取值范围是＿＿. 答案：
解析：不等式组表示的平面区域如下图，＝，看成是平面区域内取一点P（x，y）与点Q（0，－1）的连线的斜率，由图可知，直线AQ的斜率最小，无最大值，点A的坐标为（3,1），kAQ＝，所以，的取值范围是。

9、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝2A，则cosC的值为＿＿. 答案：
解析：因为C＝2A，所以，sinC＝sin2A，即sinC＝2sinAcosA，由正弦定理，得：c＝2acosA，所以，cosA＝，又由余弦定理，得：cosA＝，解得：＝10， cosC＝ 10、已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆C的离心率e的取值范围是＿＿. 答案：
解析：如下图，依题意，得A（a，0），B（0，b），F1（－c，0），F2（c，0），直线AB的方程为：，点P在直线AB上，设P点坐标为（），由PF1⊥PF2，得，＝0，即＝0，即＝0，化简，为：＝0　　　　（1）
直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，即方程（1）有解，所以，△＝，化简，得：，即，化简，得：，即，即，解得：，即，即，即，又椭圆中0＜e＜1，所以， 11、已知{an}是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列{an}的第n项到第n＋5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时n的值为________．答案：5或6 解析：因为a5＝15，a10＝－10，所以公差d＝＝－5，所以a1＝a5－4d＝35，所以an＝a1＋(n－1)d＝35－5(n－1)＝－5n＋40，an＋5＝－5n＋15，Tn＝＝15(11－2n)，当11－2n＝±1，即n＝5或6时，|Tn|取得最小值15. 12、在平面四边形OABC中，已知，OA⊥OC，AB⊥BC，∠ACB＝60°，若＝6，则＿＿. 答案：3 解析：以O为原点建立平面直角坐标系，如下图，设C（0，y），因为OA⊥OC，所以，，因为AB⊥BC，∠ACB＝60°，所以，cos60°＝，＝＝＝＝＝＝6，解得：y＝3，所以，3 13、已知函数f(x)＝ln(x＋)，若正实数a，b满足f(2a)＋f(b－1)＝0，则＋的最小值是________．答案：3＋2 解析：f(x)＝ln(x＋)的定义域为R，且f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln(x2＋1－x2)＝0，所以若f(2a)＋f(b－1)＝0，则一定有2a＋b－1＝0，即2a＋b＝1. 故＋＝＋＝2＋＋＋1.又a＞0，b＞0，所以＋≥2，当且仅当b＝a时等号成立，所以＋的最小值为3＋2. 14、定义min｛a，b｝＝，已知函数，若恰好有3个零点，则实数m的取值范围是＿＿. 答案：
解析：当m＜0时，的图象在x轴上方的增函数，无零点，至多有2个零点，与题意不符，所以，m＞0。

当m＞0时，的零点为：，的零点为：，，（1）若＞1，则有，画出函数图象如下图，由图可知，要有3个零点，须：＜1，即，即，所以，。

（2）若＜1，则有，画出函数图象如下图，由图可知，要有3个零点，须：＜，即＞0，令：即，求导，得：，对于函数，△＝1－8＝－7＜0，所以，恒成立，即＜0恒成立，所以，函数-是减函数，又f（1）＝0，所以，要＞0，须m＜1 所以，。

综上可知，实数m的取值范围是二、解答题（共90分）
15、（本小题满分14分）在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，M为CC1的中点，N为AB的中点，平面ABC⊥平面ABB1A1. (1) 求证：MN∥平面A1BC1；

(2) 若AB⊥BC，AB＝BB1，求证：AC1⊥A1B. 证明：(1) 如图，连结AB1交A1B于点O，连结ON，C1O，在平行四边形ABB1A1中，O，N分别为A1B，AB的中点，所以ON∥AA1，ON＝AA1. 在平行四边形AA1C1C中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，又M为CC1的中点，所以ON∥C1M，ON＝C1M，所以四边形ONMC1是平行四边形，所以MN∥OC1. 因为MN平面A1BC1，OC1平面A1BC1，所以MN∥平面A1BC1. (2) 在平行四边形ABB1A1中，AB＝BB1，所以四边形ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B. 因为平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，AB⊥BC，所以BC⊥平面ABB1A1，所以A1B⊥BC，所以A1B⊥B1C1. 又AB1∩B1C1＝B1，所以A1B⊥平面AB1C1.又AC1平面AB1C1，所以A1B⊥AC1. 16、（本小题满分14分）
已知sin(α＋)＝，α∈(，π)． (1) 求cos α的值；

(2) 求sin(2α－)的值．解：(1) (解法1)因为α∈，所以α＋∈. 又sin＝，所以cos＝－＝－＝－. 所以cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝－. (解法2)由sin＝，得sinαcos＋cosαsin＝，即sin α＋cos α＝　①. 又sin2α＋cos2α＝1　②，由①②解得cos α＝－或cos α＝. 因为α∈，所以cos α＝－. (2) 因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝＝＝. 所以sin 2α＝2sinαcosα＝2××＝－， cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－. 所以sin＝sin2αcos－cos2αsin＝×－×＝－. 17、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，设椭圆的左顶点为A，下顶点为B，原点到直线AB的距离为，过x轴正半轴上一点F作直线l交椭圆于M，N两点(其中M在N的上方)，直线AM交y轴于点E. (1) 求椭圆C的方程；

(2) 当N点和B点重合时，求证：四边形ANFE的面积为定值．解：(1)由已知可知A(－a，0)，B(0，－b)，所以直线AB的方程为bx＋ay＋ab＝0. 因为原点到直线AB的距离为，所以＝. 由题意可知a2－b2＝c2，＝，解得所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2) 证明：设M(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，且＋y＝1，即x＋4y＝4. 则直线AM的方程为y＝(x＋2)，令x＝0，得y＝. 直线MN的方程为y＋1＝x，令y＝0，得x＝. 所以四边形ANFE的面积 S＝·＝·· ＝·＝＝2. 即四边形ANFE的面积为定值2. 18、（本小题满分14分）
如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝2米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，AF＜BE.设∠BEF＝θ，四边形ABEF的面积为f(θ)(单位：平方米)． (1) 求f(θ)关于θ的函数关系式，并求出定义域；

(2) 当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值．解：(1) 过点F作FM⊥BE，垂足为M. 在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝，∠FEM＝θ，所以EF＝，ME＝，故AF＝BM＝EF－EM＝－，所以f(θ)＝(AF＋BE)·AB＝××2＝－. 又AF＜BE，所以θ＜，且当点E重合于点C时，EF＝EB＝2，FM＝2，θ＝，所以函数f(θ)＝－，定义域为. (2) 由(1) 可知，f(θ)＝－＝－＝2－＝3tan＋≥2＝2，当且仅当3tan＝时，不等式取等号．又θ∈，∈，故tan＝，＝，θ＝，BE＝＝，AF＝－＝. 所以当BE，AF的长度分别为米，米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为2平方米． 19、（本小题满分14分）
已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝. (1) 求函数f(x)在x＝e处的切线方程；

(2) 若至少存在一个x0∈[1，e]使f(x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围；

(3) 设k∈Z且f(x)＞(k－3)x－k＋2在x＞1时恒成立，求整数k的最大值．解：(1) f′(x)＝ln x＋1，∴ f′(e)＝2，由f(e)＝e， ∴ 函数f(x)在x＝e处的切线方程为y－e＝2(x－e)，即2x－y－e＝0. (2) 若存在一个x0∈[1，e]使f(x0)＜g(x0)成立，即x0ln x0＜，则a＞. 令h(x)＝，当x∈[1，e]时，h′(x)＝＞0恒成立．因此，h(x)＝在[1，e]上单调递增，故当x＝1时，h(x)min＝0. 即实数a的取值范围是(0，＋∞)． (3) 由题意得xln x＞(k－3)x－k＋2在x＞1时恒成立，即k＜. 令F(x)＝，则F′(x)＝. 令m(x)＝x－ln x－2，则m′(x)＝1－＝＞0在x＞1时恒成立． ∴ m(x)在(1，＋∞)上单调递增，且m(3)＝1－ln 3＜0，m(4)＝2－ln 4＞0. ∴ 在(1，＋∞)上存在唯一实数b(b∈(3，4))，使m(x)＝0，即m(b)＝0. 当1＜x＜b时，m(x)＜0，即F′(x)<0，当x＞b，m(x)＞0，即F′(x)>0. ∴ F(x)在(1，b)上单调递减，在(b，＋∞)上单调递增． ∴ F(x)min＝F(b)＝＝＝b＋2∈(5，6)．故k＜b＋2，又k∈Z，∴ 整数k的最大值为5. 20、（本小题满分14分）
已知等比数列{an}的公比q＞1，且a1＋a3＝20，a2＝8. (1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 设bn＝，Sn是数列{bn}的前n项和，对任意正整数n，不等式Sn＋＞(－1)n·a恒成立，求实数a的取值范围．解：(1) 由已知得∴ 2q2－5q＋2＝0，解得q＝或q＝2. ∵ q＞1，∴ ∴ 数列{an}的通项公式为an＝2n＋1. (2) 由题意，得bn＝， ∴ Sn＝＋＋＋…＋， Sn＝＋＋…＋＋，两式相减，得Sn＝＋＋＋…＋－， ∴ Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－， ∴ (－1)n·a＜1－对任意正整数n恒成立，设f(n)＝1－，易知f(n)单调递增， ① 当n为奇数时，f(n)的最小值为，∴ －a＜，即a＞－；

② 当n为偶数时，f(n)的最小值为，∴ a＜. 由①②可知－＜a＜，即实数a的取值范围是. 数学Ⅱ(附加题) 21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知a，b∈R，向量α＝是矩阵A＝的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A的另一个特征值及A－1. 解：由题意，Aα＝2α，即＝2，所以即所以A＝，令f(λ)＝＝(λ－1)(λ－4)＋2＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，所以矩阵A的另一个特征值为3.由逆矩阵公式得，A－1＝. B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋＝0，直线l的参数方程为(t为参数)． (1) 求曲线C的普通方程；

(2) 若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为(3，3)，求PA＋PB的值．解：(1) 由曲线C的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋＝0，可得ρ2－2ρcos θ－6ρsin θ＋1＝0，即x2＋y2－2x－6y＋1＝0，故曲线C的普通方程为x2＋y2－2x－6y＋1＝0. (2) 由于直线l的参数方程为(t为参数)．把它代入曲线C的普通方程，整理得 t2＋2t－5＝0，∴ t1＋t2＝－2，t1t2＝－5. 又PA＝|t1|，PB＝|t2|，PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝＝2. ∴ PA＋PB的值为2. C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数f(x)＝|x|－|x－3|. (1) 解关于x的不等式f(x)≥1；

(2) 若存在x0∈R，使得关于x的不等式m≤f(x0)成立，求实数m的取值范围．解：(1) 原不等式等价于不等式组①或②或③不等式组①无解；
解不等式组②得2≤x＜3；
解不等式组③得x≥3，所以原不等式的解集为[2，＋∞)． (2) 由题意知m≤f (x)max，因为f(x)＝|x|－|x－3|≤|x－x＋3|＝3，所以f(x)max＝3，所以m≤3，即m∈(－∞，3]．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
甲、乙两位同学参加数学建模比赛．在备选的5道题中，甲答对每道题的概率都是；
乙能答对其中的3道题．甲、乙两人都从备选的5道题中随机抽出3道题独立进行测试．规定至少答对2道题才能获奖． (1) 求甲答对的题数X的分布列和数学期望；

(2) 求甲、乙至少有一人获奖的概率．解：(1) 根据题意，X的所有可能取值分别为0，1，2，3. 因为甲答对其中每道题的概率是，所以X～B，P(X＝k)＝C，k＝0，1，2，3. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. (2) 记“甲获奖”为事件A，设乙答对的题数为Y，“乙获奖”为事件B. P(A)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝；

P(B)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝＋＝. 记“甲、乙至少有一人获奖”为事件M，则M为“甲、乙两人都未获奖．” P(M)＝1－P(M)＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－(1－P(A))(1－P(B)) ＝1－×＝. 故甲、乙至少有一人获奖的概率为. 23．（本小题满分10分）
A A’ B x y O P (第23题图) 已知抛物线：（）过点，直线过点与抛物线交于，两点．点关于轴的对称点为，连接．（1）求抛物线的标准方程；

（2）问直线是否过定点？若是，求出定点坐标；
若不是，请说明理由．解析：（1）将点代入抛物线：的方程得，所以，抛物线的标准方程为．（2）设直线的方程为，又设，，则．由得，则，，，所以，于是直线的方程为，即，当时，，所以直线过定点．以下内容为“高中数学该怎么有效学习？” 首先要做到以下两点：
1、先把教材上的知识点、理论看明白。买本好点的参考书，做些练习。如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。做练习要对答案，最好把自己的错题记下来。平时学习也是，看到有比较好的解题方法，或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来复习复习。

2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例，要能用自己的话解释概念（理解概念）
然后由概念开始进行独立推理活动，要能把课本的公式、定理自己推导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。

最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。（白天攻，晚上钻，梦中还惦着它）
其次，先看笔记后做作业。有的高中学生感到。老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

做题之后加强反思。

学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思。总结一下自己的收获。要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

主动复习总结提高。

进行章节总结是非常重要的。初中时是教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。

积累资料随时整理。

要注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，单元测试，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，复习资料才能越读越精，一目了然。

精挑慎选课外读物。

初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。高中则不大相同。高中数学考的是学生解决新题的能力。作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存在着很大的局限性。因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。当然，也不要自立门户，另起炉灶。一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事半功倍。

配合老师主动学习。

高中学生学习主动性要强。小学生，常常是完成作业就尽情的欢乐。初中生基本也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是只知道做作业就绝对不够；
老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明，因此，高中学生必须提高自己的学习主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。

合理规划步步为营。

高中的学习是非常紧张的。每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，详细的安排好自己的零星时间，注意事项我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，学习方法，学习习惯也很重要，只要学生认真努力，数学成绩提高是很容易的。

数学的学习过程中千万不要有心理包袱和顾虑，任何学科也是一样，是一个慢慢学习和积累的过程。但要记住的一点，这个过程我们是否能真正的学好初三数学课程（或者其他课程），除了以上的方法，我们最终的目的是：要养成一个良好的学习习惯，要培养出自己优质的学习兴趣，要掌握和形成一套自己的学习方法。