研究生录取问题优化模型论文

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数学建模作业题目：研究生录取问题优化模型队员：
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2011年X月X日研究生录取问题优化模型摘要：
本文针对研究生录取问题,建立了模糊综合评价模型和一般指派问题的规划模型，基本解决了研究生录取问题。首先,利用模糊综合评价模型对学生的综合成绩加以量化以及学生导师的满意程度，导师对学生的满意程度进行了量化；
其次,利用一般指派问题的规划模型制定了学生和导师的最佳双向选择方案；
最后,给出了一种更能体现“双向选择”的研究生录取方案，依次建立了三个模型。

在模型（1）中，对等级量化后要求先按分数择优录取，然后，根据模糊评价及柯西隶属函数，给出建立了10名研究生与10名导师之间最佳双向选择方案的多级综合评价数学模型，使师生双方的“满意度”达到最大；
模型（2）在模型（1）的基础上，加上一对一的约束条件建立优化模型，从而可以得出一名导师带一名研究生的最佳方案；
而模型（3）应用双向选择方法，让10名导师和10名研究生之间做双向选择，并给出了双向选择策略。

在模型中，我们定义了一个满意度（即学生与导师的相互满意程度）来度量学生与导师的配合方案，满意度越大，人员分配方案就越优。最后利用lingo,matlab数学软件求解模型即可。

关键词：研究生；
录取；
模糊综合评价；
指派问题；
双向选择；
柯西隶属函数。

1问题重述目前，我国根据素质教育和培养高素质合格人才的需要，要求各高校都对硕士研究生的录取方法进行了改革，即在录取的过程中改变了以往根据考试成绩定终身的做法，加大了复试及考核的作用。现有某高校计划招收10名计划内研究生，具体的招收录取办法和程序如下：
（一）公开考试：在达到国家和学校分数线的学生中从高分到低分排序，按1:1.5的比例（共15人）选择进入复试（第二阶段专家考核）的名单。

（二）复试一般采用由专家组面试考核的办法，主要面试考核学生的专业知识面，思维的创造性，灵活的应变能力，文字和和口头的表达能力和外语水平等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个研究生的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成A/B/C/D四个等级。

（三）然后，由主管部门综合所有专家的意见和学生的初试成绩等因素确定录取名单。

(四)最后，要求被录取的10名研究生与10名导师之间做双向选择，即学生可根据自己的专业发展意愿，导师的基本情况和导师对学生的期望要求来选择导师；
导师根据学生所报专业志愿、专家组对学生专长的评价和自己对学生的期望要求等来选择学生。

该高校拟将录取的10名研究生与10名导师进行双向选择，在使师生双方满意度最大的条件下，进行最优的人员配比。在这里，我们所要解决的问题是要将面试的评分等级进行量化，用加权的方法对各个研究生进行评分，然后分别在按需和按志愿两种情况下对人员进行择优录取，给出最优录用分配方案。

2 模型假设（1）假设专家对研究生的专长的评分是客观公正的，没有作弊或歧视一位录取学生而故意打过高或过低分值的现象；

（2）假设在研究生录用考试的第一步（笔试）中已经设置了考察学生各种能力的题目，难度和比例都比较合理，即笔试已经对学生各种能力做了比较全面的测试；

（3）考生填报的志愿要尽量满足，专业不对口将大大降低学生和导师的满意度；

（4）假设研究生所填报的志愿不存在调剂现象。

3 定义与符号说明 :专家对学生5项指标的评价：第个学生的第个项专长的复试成绩：第个学生的复试成绩：第个学生的笔试成绩：第个学生规范化的笔试成绩：第个学生的综合成绩 : 满意度,即学生与导师之间的相互满意程度：第i 个导师对第j 个研究生的第项条件的综合评价满意度：第i 个导师对第j 个研究生的五项条件的综合评价满意度：第j 个学生对第i 个导师的综合评价满意度：导师学生双方相互综合满意度 4 问题分析学校计划招生的10名研究生，由初试上线的前15名学生参加复试专家组由8位专家组成。在复试过程中，要求每位专家对每个参加复试学生的以上５个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为A,B,C,D四个等级。该系现有10名导师拟招收研究生，分为四个研究方向。导师的研究方向、专业学术水平以及对学生的期望要求。综合考虑学生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门确定10名研究生的录取名单。

问题主要要求（1）对导师和学生的综合评价及择优选择问题；
首先，由于各专家对每一个学生的五项条件都有一个主观评判结果，则可据此确定各专家对每一个学生的五项条件的量化分值，再综合8名专家的评分就可以得到每个学生的量化得分；
然后由初试成绩与复试成绩规范化后的综合成绩排序择优录取10名研究生。

（2）
最佳双向选择问题。包括两个方面对一选择（每一名导师只带一名学生) ;一对多选择(一个导师选多个学生) 。用模糊评判及权重的相关知识分别确定学生对导师，导师对学生的满意度，而最优的双向选择方案应该是使得所有导师和学生的相互综合满意度之和最大。

（3）根据初试成绩、专家组的面试评价以及导师对学生的要求条件,确定录取研究生的新方案；
在模型二的基础之上添加约束条件，利用0-1规划知识求解便可（4）充分考虑学生的申报志愿情况,给出一种导师和研究生的选择方案, 以及每一名导师带2 名研究生的双向选择最佳策略。首先在充分考虑考生志愿和专业平衡的条件下，给出了5名导师和10名学生的选择策略，然后，在此基础上采用虚拟导师的方法转化为问题（二）中的情况进行求解。

（5）设计一种更能体现“双向选择”的研究生录取方案。最终使师生双方的满意度最大 5 模型建立与求解 5.1模糊综合评价模型 5.1.1学生复试成绩的量化学生的五项条件都具有一定的模糊性, 评价分为A，B，C, D四个等级, 即构成模糊集不妨设相应的评语集为{很好, 好, 较好, 差}, 对应的数值为：根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数：
(1) 其中为待定常数，实际上, 当评价为“很好”时, 则隶属度为1, 即; 当评价为“较好”时, 则隶属度为0.8, 即; 当评价为“很差”时(在这里没有此评价) ,则认为隶属度为0.01, 即；

于是, 可以确定出，，，，代入公式（1）得到相应的隶属函数，经计算的，；
则专家对学生各单项指标的评价(评语集) {A ,B , C,D } = {很好, 好, 较好,差} 的量化值为。根据题目数据可以得到各名专家对每一个学生的五项条件的评价矩阵：
，，由于8 名专家的地位应该是平等的, 于是综合8 名专家评价结果可以得到15 个学生的五项条件的复试得分为：
同样学生的五项条件在综合评价中的地位也应该是同等的, 则15 个学生的综合复试得分可表示为：
5.1.2 初试成绩的规范化为了便于将初试成绩与复试成绩做统一的比较处理, 用极差规范化方法作相应的规范化理. 初试得分的规范化：
5.1.3 学生的综合成绩由于不同的学校对待初试和复试成绩的重视程度可能会不同，而且根据题目加大了复试的作用，这里给学生的初始成绩和复试成绩加权，分别赋于权系数，则学生的综合分数为：
根据学生的综合成绩，按从大到小排序就可以择优录取10名研究生。

5.1.4 导师对学生的满意度导师对学生有五方面的专长要求，相应每位学生都有专家对其五项专长面试的得分，导师对学生的要求和专家对学生专长的评价都有四个等级, 并且都具有模糊性, 即构成模糊指标集，五个指标元素分别为灵活性、创造性、专业面、表达力、外语.。每一位导师对学生的每一项指标都有一个“满意度”，将即反映导师对某项指标的要求与学生实际水平差异的程度. 导师对学生的要求和专家对学生专长的得分进行比较，如果专家对学生专长的得分与导师对学生的要求相符合用4表示，如果专家对学生专长的得分比导师对学生的要求要求高一个等级，两个等级，三个等级，分别用5，6,7表示, 如果专家对学生专长的得分比导师对学生的要求低一个等级，两个等级，三个等级分别用3,2,1表示,于是认为导师对学生某项指标的满意程度可以分为“很不满意、不满意、不太满意、基本满意、比较满意、满意、很满意”七个等级, 即构成了评语集，并赋相应的数值{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。根据实际情况, 则可以取类似于(1) 式的近似偏大型柯西分布隶属函数：
实际上, 当“很满意”时, 则满意度的量化值为1, 即；

当“基本满意”时, 则满意度量化值为0.8, 即；
当“很不满意”时, 则满意度量化值为0.01, 即。于是, 可以确定出相应的参数为, ，，。经过计算的经计算得，，，，则导师对学生各单项指标的满意程度的量化值为：。将已录取的10 名研究生重新编号, 依次从1 到10, 根据题目中关于这10 名研究生的评价数据, 可以分别计算得到每一个导师对每一个研究生的各单项指标的满意程度的量化值, 分别记为：
类似地, 第个导师对第个研究生的第项指标的综合满意度为：
第i个导师对第j个研究生的五项条件的综合评价满意度为：
于是可得10名导师对10名研究生的满意度矩阵：
5.1.5学生对导师的满意度学生对导师的满意度主要与导师的学术水平有关, 同时考虑到学生所喜好的专业方向, 在评价导师时一定会偏向于自己喜好的导师, 即专业方向也是决定学生选择导师的一个因素。因此, 影响学生对导师满意度的有五项指标: 专业方向、发表论文数、被检索数、著作数和科研项目数。学生对导师的满意度也可以通过隶属函数把模糊的等级量化。

对专业方向来说, 主要是看是否符合自己发展的专业方向, 符合第一、二志愿的分别为 “满意、基本满意”, 不符合志愿的为“不满意”, 于是评语集为三个等级, 即{满意, 基本满意,不满意}，满意度为1, 不符合任一个志愿时满意度为0, 根据实际情况, 在这里取隶属函数为，并要求, 经过计算得，，代入上式可以的到，即得到评语集{满意, 基本满意, 不满意} 的量化值为。这样每一个研究生对每一个导师都有一个满意度权值, 即满足第一志愿取权为1, 满足第二志愿取权值为0.6309, 不满足志愿取权值为0。对于反映导师学术水平的四项指标的评语集为五个等级, 即{很不满意, 不满意, 基本满意, 满意, 很满意}, 类似于上面确定导师对学生的满意度的方法.，首先确定导师学术水平指标的客观量化值: 记10 名导师的四项学术指标的平均值为；
最大值；
最小值为, 等级差为：
可以取近似的偏大型柯西分布隶属函数当时, 学生为对导师“基本满意”, 则满意度量化值为0.9, 即；
当某项指标处于最高值时, 学生对导师“很满意”, 则满意度的量化值为1, 即; 当某项指标处于最低值时, 学生对导师“很不满意”, 则满意度量化值为0.01, 即；
通过计算可以确定出四项指标的隶属函数为。由实际数据可计算出学生对每个导师的各单项指标的满意度量化值, 即对导师水平的客观评价：。于是, 每一个学生对每一个导师的四个单项指标的满意度应为导师的客观水平评价值与学生对导师的满意度权值的乘积, 即：
则第j 个学生对第i 个导师的综合评价满意度为：
于是可得学生对导师的满意度矩阵 5.1.6 双方的相互综合满意度根据上面的讨论, 每一个导师与任一个学生之间都有相应的单方面的满意度, 双方的相互满意度应有各自的满意度来确定, 在此, 取双方各自满意度的几何平均值为双方相互综合满意度, 即：
5.2 指派问题的规划模型（问题1的模型）
最优的双向选择方案应该是使得所有导师和学生的相互综合满意度之和最大，首先考虑学生的选择方案。设决策变量于是问题可以归结为下面规划问题: 5.3指派问题的规划模型（问题2的模型）
5.4 问题(3) 　 (1) 确定导师组对学生的综合评价指标：
由于题目中没有给出导师对学生的评分, 在这里让10 名导师综合15 名学生的初试成绩、专家组的面试成绩和他们自己对学生的要求条件给出一个综合评价, 据此确定选优录取10 名研究生. 然后, 在不考虑学生原有的专业志愿的情况下, 让10 名导师和10 名研究生之间做双向选择.类似于(3) 式和(4) 式的方法, 可以得到第i 位导师对j 个学生的第l 项指标的综合满意度为：
则第i个导师对第j个研究生的五项条件的综合评价满意度为：
于是10名导师对对15名研究生各自的综合满意度为：
极差规范化处理后：
即得10 名导师对15 名学生的综合评价指标向量综合考虑导师对学生的综合评价指标S ′j 和学生的综合成绩Cj (即(2) 式) , 就可以得到学生的综合实力指标. 事实上, 对于每一个学生都存在一个客观的实力指标值，跟据此引入绝对偏差函数：
；
其中，为优先因子 5.4.1 确定双向选择策略首先考虑导师选择学生的策略：
设10 名导师为局中人, 即局中人集合为每个局中人的策略集均为10 名学生, 即如果导师 i 选择学生, 则的赢得为 (仿(4) 式可得) , 则有对策模型并设：
于是问题转化为：
（9）
求解可以得到导师选择学生的策略。

同理, 考虑学生选择导师的策略设10 名学生为局中人, 即局中人集合为，每个局中人的策略集均为10 名导师, 即如果学生选择导师则的赢得为 (仿(5) 式可得) , 则有对策模型, 并设：
问题转化为: （10）
可求得学生选择导师的策略。

根据模型(9) 和模型(10) 的求解结果, 如果导师选择学生的策略和学生选择导师的策略相同, 即导师和学生相互选中, 则就退出系统. 对于剩下的再重新做双向选择, 类似于(9) 和(10) 式建立相应的优化模型并求解, 直到确定出每位导师带一名学生为止. 6 模型评价及改进本研究模型的主要创新点有: 1 以双向选择模型为原型,成功地解决了在研究生录取过程中的双向选择问题获取最优解及如何调动导师和学生积极性的问题,将抽象的指标体系量化为可计算的参数,得到合理的判定结果,该模型可以推广至其他扩充条件下的求解。

2 提出了双向选择模型的建模分析实现技术,通过对该模型的计算机处理,在获取原始输入数据之后,以结构化的形式输出决策结果,具有非常强的时效性。

3 提出的双向选择模型具有通用性,可以方便地应用到公务员考试录用、企业人才招聘、高考录取等人才录用过程。

4 模型具有广泛的普遍性和适用性、扩展性、伸缩性,只要改变其中的部分参数值,即可应用于其它问题。以此模型为理论基础,可制定出其他的人才选择最优策略,具有强烈的现实意义。

模型缺点：模型的权值虽然都有文献依据，但具有一定的主观性是不可避免的。

7 参考文献参考文献：
[1] 白其峥，数学建模案例分析[M].北京：海洋出版社，1999. [2] 阮沈勇，王永利，桑群芳，MATLAB程序设计[M].北京：电子工业出版社，2004. [3] 杨纶标，模糊数学原理及应用[M].武汉：华南理工大学出版社，1998. [4] 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003. [5] 张莉，陈利琼，彭云飞，研究生录取多级综合测评数学模型[J].贵州大学学报（自然科学版）,2010(2). [6] 钱颂迪，运筹学（修订版）[M].北京：清华大学出版社，1999. [7] 薛毅，数学建模基础[M].北京:北京工业大学出版社，2004. 8 附录 8.1 程序算法 A=1; B=0.9126; C=0.8; D=0.5245; A0=[A B B B B;B A A B B;A B A C A;B B A B A;B B B B A;A A A C B;B B B A C;B A B A B;B A A C B;A A B B B]; A1=[A B A B A;A C A B B;B A C D C;B A B B A;B A B C A;B B A B D;A B C B B;B A A C A;B B A B B;D B A C C;D B C A B;A B A C A;B C B A D;D C A B C;A B C B B]; A2=[B A A B A;A B A C B;B A A C B;A B D C B;B A B C B;B D A B C;A B C B D;B A A C B;B B A B B;D B A C C;B C B A B;A B B A A;B A B C B;B B A A A;A B C B B]; A3=[A B B B B;A B A B A;B A D C B;A C B B B;B A B C B;A D A B A;A B C B B;B B A C B;A B C B B;C B A C D;D B B A B;A B B C B;B D C A C;D C A B C;A B B B A]; A4=[A B B B A;A B A B A;B A B B B;B B B B B;B B C B B;B C C B C;A C B D C;B B A C B;A C A B B;C A B B D;D B C B C;A B B B B;A B B A A;B B A B B;A C B B B]; A5=[A B A A A;B B A B A;B A B B A;B B B C B;A B B B A;C A B B C;A C B D C;B B A B A;B C A B B;B C A B D;C C A B C;A B B A B;A B B C D;B C B C C;A B B B B]; A6=[A B B B B;A B A B A;A B B B B;B A C D C;A A B B A;B C A B B;B A B C D;C B A B B;B C B B C;C A B C D;C B B A B;B B B B B;B B C B B;A C A B B;B B C A B]; A7=[B C A A B;A A B B A;A B C A C;B B B B A;A B C B B;A B B B A;A D B B B;B C B C C;A C A B B;C A B C D;D B A B C;A B B B B;B C A B C;C A B B D;B A A A A]; A8=[A A B B A;B B A A A;A B C B B;B C A B B;A C C B C;C A B B D;A B B C B;B C C B C;A B B B B;C B B C C;C B B B B;B A B B B;B B B A A;C B B C A;B B B A B]; rij=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8; Bjk=rij/8; Bkj=Bjk＇; Rj=sum(Bkj)/5 a=[416 410 405 397 392 389 385 382 380 378 377 372 360 358 356]; Aj=(a-min(a))/(max(a)-min(a)); n=0.4 m=0.6 Cj=n*Aj+m*Rj; b=sort(Cj); [b,in]=sort(Cj); d=fliplr(in) A=5; B=4; C=3; D=2; F(:,:,1)=A1; F(:,:,2)=A2; F(:,:,3)=A3; F(:,:,4)=A4; F(:,:,5)=A5; F(:,:,6)=A6; F(:,:,7)=A7; F(:,:,8)=A8; for k=1:8 for i=1:10 E(i,:,k)=F(d(i),:,k); end end for k=1:8 for i=1:10 for j=1:10 H(i,j,k)=sum(((E(i,:,k)-A0(j,:)+4))＇)/5; end end end G=zeros(10,10); for k=1:8 G=G+H(:,:,k); end R=G/8 oo=2.4944; pp=0.8413; ff=0.1787; hh=0.6523; for i=1:10 for j=1:10 if R(i,j)<=4 RR(i,j)=(1+oo*(R(i,j)-pp)^(-2))^(-1); else RR(i,j)=ff*log(R(i,j))+hh; end end end Sij=RR I=[15 8 2 2;32 4 1 1;36 9 3 3;12 2 3 3;17 1 1 1;21 3 0 6;18 2 1 1;10 2 0 1;32 6 2 4;17 5 2 2] I0=zeros(10,5); for j=1:4 for i=1:10 II(i,j)=(I(i,j)-min(I(:,j)))/(max(I(:,j))-min(I(:,j))); end end K=sum(II＇)/4 P1=[2 3 1 4 3 3 2 1 4 3;3 1 2 3 2 4 4 3 1 4] P3=P1＇ P0=[1 1 1 2 2 3 3 3 4 4] for k=1:2 for i=1:10 for j=1:10 P2(i,j,k)=P3(i,k)-P0(1,j); if (P2(i,j,k)==0)&&(k==1) PP(i,j,k)=1; else if (P2(i,j,k)==0)&&(k==2) PP(i,j,k)=0.6309; else PP(i,j,k)=0; end end end end end P3=PP(:,:,1)+PP(:,:,2) for i=1:10 Tij(i,:)=P3(i,:).*K; end CIj=sqrt(Sij.*Tij) Cij=CIJ＇ 8.2 LINGO 计算指派模型